Tipp: Für die bestimmung der Definitionsmenge musst du explizit die Nenner anschauen.

Versuche Überkreuz zu multiplizieren.

Die Idee ist die Bruchtermgleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine lineare Gleichung zu bringen. Dafür muss man zunächst die Definitionsmenge bestimmen und an geeigneter Stelle über Kreuz multiplizieren.

Bestimme also zunächst die Definitionmenge. Sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen ist der Nenner der Terme $xx$.

Man darf also die $00$ nicht einsetzen.Für die Definitionsmenge gilt: $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0\}D=\backslash mathbb\; Q\backslash backslash\backslash \{0\backslash \}$.

Nun zur Lösungsmenge:

Versuche zunächst die Gleichung Bruchfrei zu machen.

$-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=5+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}-\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 1\}\{\backslash displaystyle\; x\}=5+\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 1\}\{\backslash displaystyle\; x\}$

Auf den gleichen Nenner bringen

$-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=\frac{{\displaystyle 5x}}{{\displaystyle x}}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}-\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 1\}\{\backslash displaystyle\; x\}=\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 5x\}\{\backslash displaystyle\; x\}+\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 1\}\{\backslash displaystyle\; x\}$

Addiere

$-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=\frac{{\displaystyle 5x+1}}{{\displaystyle x}}-\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 1\}\{\backslash displaystyle\; x\}=\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 5x+1\}\{\backslash displaystyle\; x\}$

Überkreuzmultiplizieren

$-x=5x^2+x-x=5x^2+x$

$\mathrm{\mid }:x|:x$ (Man darf durch $xx$ teilen, weil $00$ nicht in der Definitionsmenge ist)

$-1=5x+1-1=5x+1$

$\mathrm{\mid }-1|-1$

$-2=5x-2=5x$

$\mathrm{\mid }:5|:5$

$x=-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}x=-\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 2\}\{\backslash displaystyle\; 5\}$

$-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}-\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 2\}\{\backslash displaystyle\; 5\}$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung.Es gibt keine weiteren Lösungen.

Also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}\backslash mathbb\; L$ der Gleichung $\mathbb{L}=\{-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}\}\backslash mathbb\; L=\backslash \{\; -\backslash frac\{\backslash displaystyle\; 2\}\{\backslash displaystyle\; 5\}\backslash \}$.